Комплексные числа и действия над ними

Комплексные числа, в традиционном смысле этого слова, не являются числами, применяемыми при подсчетах и измерениях, а являются математическими объектами, которые определяются представленными ниже свойствами.

комплексные числа

Используют 3 формы комплексного числа: алгебраическую, показательную, тригонометрическую.

Форма алгебраическая

Комплексные числа обозначают выражением ω + νi, где действительными являются ω и ν, а символ i, определяется условием i2 - 1 - единица мнимая.

Соответственно число комплексное ω + νi делится на действительную и мнимую часть. Для удобства изображают его одной буквой (например η): η = ω + νi.

Части числа комплексного η = ω + νi, действительную и мнимую, обозначают ω = Reη, ν = Itη соответственно.

формы комплексного числа

Равными считаются комплексные числа, когда эквивалентны их и действительные и мнимые части. Равным нулю считается комплексное число, если его части, действительная и мнимая, равны нулю.

Арифметические действия

Сложение

Суммой комплексных чисел именуют число комплексное, действительная часть которого эквивалентна сумме действительных частей, а мнимая эквивалентна сумме мнимых частей:

η=(ω12)+(ν12)i.

Говорят что в числе комплексном η обрели в результате сложения чисел комплексных:

η=η12.

Комплексные η1 и η2 именуют слагаемыми.

Законы операции сложения:

1) закон ассоциативности;

2) закон коммутативности.

Число комплексное -ω-bi называют комплексному числу ω+νi противоположным. Сумма противоположных комплексных чисел равняется нулю.

Разница

Разницей чисел комплексных называют число комплексное η равное сумме числа η1 и числа противоположного η2:

η=η1+(-η2)=(ω12)+(ν12)i.

О числе комплексном η говорят, что его обрели в результате вычитания η2 и η1 (чисел комплексных), и записывают:

η=η21.

Произведение

Произведением чисел комплексных является число комплексное:

η=(ω1ω21ν2)+(ω1ν12ν1)i.

О числе комплексном η говорят, что его получили умножением η1 на η2 (числа η1 и η2 - комплексные), и записывают:

η=η1η2.

Комплексные η1 и η2 именуют множителями.

Законы операции умножения чисел комплексных:

1) закон ассоциативности;

2) закон коммутативности.

Деление

Частным чисел комплексных называют такое комплексное η, что η11:η2 (η2 ≠ 0). Частное чисел комплексных вычисляют по формуле:

η=(ω1ω21ν2)/(ω22)+(ω1ν1+ ω2 ν1)i/(ω2+ ν2).

О числе η говорят, что его получили в результате деления η1 на η2, и записывают:

η=η12.

Сложение и умножение чисел комплексных связаны правилом, которое называется дистрибутивным законом умножения касательно сложения.

Тригонометрические комплексные числа

Применяют также другую форму записи чисел комплексных, которая называется тригонометрической.

тригонометрические комплексные числа

Число комплексное ω + νi записать можно так:

η=k(cosβ+isinβ), где k222.

Это выражение - форма записи чисел комплексных, которая носит название тригонометрической. Модуль числа комплексного - действительное число k, а угол β, измеренный в радианах - его аргументом.

Если число комплексное не равно нулю, то модуль его положительный; если же η=0, иначе говоря ω=ν=0, то и модуль его равен нулю. Модуль определен однозначно.

Произведением тригонометрических комплексных чисел является модуль числа комплексного, который эквивалентен произведению множителей, вернее, их модулей, а аргумент эквивалентен сумме аргументов множителей:

η1η2=k1k2[cos(β12)+isin(β12)].

Частным тригонометрических комплексных чисел, которые не равны нулю, является число комплексное, модуль которого эквивалентен частному делимого и делителя (их модулей), а аргумент эквивалентен разнице аргументов делимого и делителя:

η12=k1/k2[cos(β12)+isin(β12)].

Натуральная степень числа комплексного

В математике n-й степенью комплексного η называют комплексное w, найденное в результате умножения η комплексного n раз само на себя: w = ηη...η.

Обычно используют короче запись:

w=ηn,

в котором число η - основа степени, а n (число натуральное)- показатель степени.

n-я степень η (число комплексное), которое задано в тригонометрической форме, вычисляется по формуле:

ηn=kn(cosnβ+isinnβ).

Эта формула носит название - формула Муавра.