Углы при параллельных прямых и секущей: свойства и теоремы

Углы, образуемые при пересечении параллельных прямых и секущей, имеют ряд удивительных свойств. Давайте разберемся в них подробнее.

Общие сведения

Для начала дадим определение: параллельными называются прямые, которые расположены в одной плоскости и не пересекаются, как бы далеко их ни продолжали. Что происходит, когда через две параллельные прямые проводят некую секущую?

• Образуется 8 углов с интересными свойствами.
• Эти углы принято называть:
• вертикальные углы (равны)
• смежные углы (их сумма 180°)
• односторонние углы
• накрест лежащие углы
• Для использования свойств этих углов часто требуются дополнительные построения.

Давайте последовательно разберем теоремы, описывающие свойства этих углов.

Теорема об обратном утверждении

Любая теорема имеет прямое утверждение (если А, то В) и обратное (если В, то А). Докажем обратное утверждение для одной из теорем о параллельных прямых:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы, образованные этими прямыми и секущей, равны.

Формальное доказательство этого утверждения можно посмотреть в приложенном файле. Здесь же отметим, что такие обратные утверждения полезны при решении задач.

Теорема о перпендикулярности

Еще одно интересное следствие: если одна прямая перпендикулярна одной из двух параллельных, то она перпендикулярна и к другой.

Это свойство тоже пригодится в задачах, например можно будет "переносить" перпендикулярность с одной параллельной прямой на другую.

Теорема о равенстве соответственных углов

Сформулируем еще одну важную теорему: если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы, образованные этими прямыми и секущей, равны.

Это свойство используется, когда в условии задачи есть параллельные прямые и нужно доказать равенство каких-то углов.

Теорема о сумме односторонних углов

Наконец, еще один важный факт: сумма односторонних углов при пересечении параллельных прямых равна 180°. Это свойство позволяет вычислять один угол через другой в задачах с параллельными прямыми.

Все эти теоремы важно не только знать, но и уметь применять на практике. Давайте рассмотрим примеры.

Пример задачи на доказательство

Вот пример несложной задачи, для решения которой используются рассмотренные нами свойства углов (углы при параллельных прямых и секущей). Проанализируем ее решение:

1. Анализируем условие, выделяем параллельные прямые a и b.
2. Определяем элементы, которые нужно доказать равными: отрезки OC и OD.
3. Рассматриваем треугольники AOD и BOC, находим в них равные элементы.
4. По свойству подобных треугольников заключаем, что OC = OD.

Аналогичным образом разбирается большинство задач на доказательство в геометрии.

Разбор заданий тренировочного модуля

Рассмотрим еще пару примеров задач, чтобы закрепить навыки использования свойств углов при пересечении двух параллельных прямых секущей:

1. Даны три пересеченные прямые и значения трех соответственных углов. Какие из прямых параллельны?

   Решение: по теореме о равенстве соответственных углов. Так как равны углы при a и p, эти прямые параллельны.

2. Даны две параллельные прямые и биссектрисы двух углов. Найти третий угол.

   Решение: по свойству односторонних углов при параллельных прямых.

Оба примера решаются быстро, если знать и уметь применять свойства углов.

Рекомендации для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ

Для успешной подготовки к экзаменам важно:

• Знать формулировки всех теорем и уметь их доказывать
• Решать как можно больше задач на применение этих теорем
• Использовать свойства углов при построении доказательств в задачах

Тогда вероятность решить задание по параллельным прямым на экзамене существенно возрастает.

В этой статье мы рассмотрели лишь часть вопросов, связанных со свойствами углов при параллельных прямых и секущей. В следующих публикациях поговорим о других интересных особенностях этих углов.