Как возводить в квадрат дробь: правила и особенности

Возведение дробей в квадрат - распространенная операция, с которой часто приходится сталкиваться в математических вычислениях. Для того, чтобы правильно выполнить ее, нужно знать основные правила и особенности.

Правила возведения дробей в квадрат

Прежде всего давайте определимся с базовыми понятиями.

Дробь - это число, которое можно записать в виде отношения двух чисел: числителя и знаменателя. Например: \(\frac{3}{4}\).

Квадрат числа - это произведение числа самого на себя, обозначается как а², где а - это исходное число.

Возведение в квадрат обыкновенной дроби

Чтобы возвести обыкновенную дробь в квадрат, нужно:

1. Возвести в квадрат числитель дроби
2. Возвести в квадрат знаменатель дроби
3. Записать получившиеся числа в виде новой дроби

Например, возведем дробь \(\frac{3}{5}\) в квадрат:

• Числитель 3 возводим в квадрат: 3² = 9
• Знаменатель 5 возводим в квадрат: 5² = 25
• Получаем новую дробь: \(\frac{9}{25}\)

Другой пример, возведем дробь \(\frac{2}{7}\) в квадрат:

• 2² = 4
• 7² = 49
• \(\frac{2}{7}\)^2 = \(\frac{4}{49}\)

Возведение в квадрат десятичной дроби

Чтобы возвести десятичную дробь в квадрат, нужно:

1. Преобразовать ее в обыкновенную дробь
2. Далее применить описанный выше метод

Например, возведем 0,6 в квадрат:

1. 0,6 = \(\frac{6}{10}\)
2. 6² = 36
3. 10² = 100
4. 0,6² = \(\frac{36}{100}\) = 0,36

Возведение в квадрат смешанного числа

Если нужно возвести в квадрат смешанное число, то:

1. Сначала превратите его в неправильную дробь
2. Затем примените стандартное правило для дробей

Пример, возведем \(2\frac{1}{2}\) в квадрат:

1. \(2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)
2. 5² = 25
3. 2² = 4
4. \(2\frac{1}{2}\)^2 = \(\frac{25}{4}\) = 6\(\frac{1}{4}\)

Таким образом, основные правила возведения в квадрат достаточно просты. Главное - правильно преобразовывать разные типы дробей перед применением стандартной формулы.

Применение правил на практике

Давайте теперь разберем примеры применения изученных правил при решении задач.

Как возвести в квадрат сумму дробей

Рассмотрим возведение в квадрат суммы двух дробей \(\frac{1}{3}\) и \(\frac{1}{5}\). Сначала применим формулу квадрата суммы:

Где a = \(\frac{1}{3}\), b = \(\frac{1}{5}\). Подставляя значения, получаем:

1. \(\frac{1}{3}\)^2 = \(\frac{1}{9}\)
2. \(\frac{1}{5}\)^2 = \(\frac{1}{25}\)
3. 2ab = 2\(\frac{1}{3}\) \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{2}{15}\)
4. \(\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{2}{15} + \frac{1}{25} = \frac{49}{225}\)

Аналогично можно возводить в квадрат сумму любого количества дробей, применяя ту же формулу.

Примеры текстовых задач на возведение дробей в квадрат

Рассмотрим несколько примеров текстовых задач, в которых нужно применить правила возведения дробей в квадрат.

Задача 1. Квадрат со стороной 2⁄3 м разрезали на 9 равных квадратов. Найдите площадь одного из получившихся квадратов.

Решение:

1. Сторона исходного квадрата равна \(\frac{2}{3}\) м
2. Возводим квадрат дробь \(\frac{2}{3}\): (\(\frac{2}{3}\))² = \(\frac{4}{9}\)
3. Это площадь исходного квадрата в м²
4. Так как из него получилось 9 одинаковых квадратов, значит, площадь одного будет в 9 раз меньше. То есть \(\frac{4}{9} : 9 = \frac{4}{81}\)

Ответ: \(\frac{4}{81}\) м²

Задача 2. Высота цилиндра равна 0,2 м, а радиус основания 0,4 м. Найдите полную площадь поверхности цилиндра.

Решение:

1. Высота цилиндра h = 0,2 м = \(\frac{2}{10}\) м
2. Радиус основания r = 0,4 м = \(\frac{4}{10}\) м
3. Возводим квадрат дробь \(\frac{4}{10}\): (\(\frac{4}{10}\))² = \(\frac{16}{100}\)
4. Это площадь основания цилиндра S = \(\frac{16}{100}\) м²
5. Полная площадь цилиндра равна S полн = 2πrh = 2 · π · \(\frac{4}{10}\) · \(\frac{2}{10}\) ≈ 0,502 м²

Ответ: 0,502 м²

Возведение квадрат дробь в геометрических задачах

Рассмотрим задачу с геометрическим содержанием, где также потребуется возвести дробь в квадрат.

Даны два квадрата. Сторона одного равна \(\frac{3}{5}\) см, а второго - \(\frac{9}{25}\) м. Найдите отношение площадей этих квадратов.

Решение:

1. Сторона первого квадрата a = \(\frac{3}{5}\) см
2. Возводим квадрат: (\(\frac{3}{5}\))² = \(\frac{9}{25}\)
3. Это площадь первого квадрата: S₁ = \(\frac{9}{25}\)
4. Сторона второго квадрата b = \(\frac{9}{25}\) м = \(\frac{9}{25}\) · 10² см = 36 см
5. 36² = 1296 (см²)
6. Площадь второго квадрата S₂ = 1296 см²
7. Отношение площадей: \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{9}{25}}{1296} = \frac{1}{144}\)

Ответ: \(\frac{1}{144}\)

Как видно из примеров, умение возводить дроби в квадрат необходимо для решения различных задач.