График функции - парабола. Построение графика квадратичной функции

Парабола является одним из наиболее распространенных видов графиков функций. Ее можно встретить в архитектуре, технике, физике и других областях. Умение строить и анализировать параболу помогает решать многие прикладные задачи.

Определение параболы

Парабола - это график квадратичной функции вида:

y = ax2 + bx + c

Где a ≠ 0, а b и c - любые числа. Такую функцию называют квадратичной, а ее график имеет форму параболы.

Парабола является одним из трех видов конических сечений, наряду с окружностью и эллипсом.

Конкретный вид параболы зависит от значений коэффициентов a, b и c. Давайте разберемся, как именно эти коэффициенты влияют на график.

Уравнение параболы как графика квадратичной функции

Рассмотрим уравнение параболы:

y = ax2 + bx + c

Здесь:

• a - коэффициент при квадрате x;
• b - коэффициент при x;
• c - свободный член.

Эти коэффициенты и определяют конкретный вид графика параболы.

Основные свойства параболы

Рассмотрим основные свойства графика параболы:

1. Парабола симметрична относительно оси, проходящей через ее вершину;
2. Если c > 0, то парабола пересекает ось OY выше начала координат, если c < 0 - ниже;
3. Если a > 0, то ветви параболы направлены вверх, если a < 0 - вниз.

Эти свойства позволяют делать выводы о графике, основываясь только на коэффициентах.

Например, если известно, что a > 0 и c < 0, то можно с уверенностью сказать, что график будет параболой с ветвями вверх, пересекающей ось OY ниже начала координат.

Параметры, влияющие на форму параболы

Как уже было сказано, на форму параболы влияют три коэффициента:

1. a - определяет направление ветвей;
2. b - определяет положение вершины;
3. c - координата пересечения с осью OY.

Разберем подробнее, как каждый из этих коэффициентов влияет на график.

Коэффициент a

Если a > 0, то ветви параболы направлены вверх. Чем больше a, тем круче загибаются ветви. При больших значениях a парабола выглядит более "заостренной".

Если же a < 0, то ветви направлены вниз. Чем меньше a, тем положе загиб ветвей, "сплюснутая" форма.

Коэффициент b

Этот коэффициент отвечает за положение вершины параболы на оси Ox. Чем больше b по модулю, тем дальше вершина смещена от начала координат влево или вправо.

Знак коэффициента b также важен. Если b > 0, вершина смещена вправо. Если b < 0 - то влево.

Свободный член c

Этот параметр отвечает за координату пересечения параболы с осью Oy. Если c > 0, то пересечение происходит выше начала координат. Если же c < 0 - то ниже.

При c = 0 парабола проходит через начало координат.

Таким образом, зная коэффициенты квадратичной функции, можно сделать вывод о форме соответствующей ей параболы.

Построение параболы по точкам

Если квадратичная функция задана неявно, а требуется построить параболу по конкретным точкам, можно воспользоваться таким алгоритмом:

1. Задать несколько точек вида (x; y);
2. Подставить значения x в формулу y = ax2 + bx + c и вычислить коэффициенты a, b, c;
3. Построить параболу по найденному уравнению.

Этот метод позволяет получить уравнение, описывающее конкретный набор точек.

Далее можно использовать найденные коэффициенты a, b, c для анализа свойств параболы.

Теперь давайте перейдем к более подробному описанию построения различных случаев.

Выделение полного квадрата

Один из распространенных методов построения параболы - выделение полного квадрата из уравнения функции. Рассмотрим этот метод на примере:

y = x2 - 6x + 8

Выделяем полный квадрат:

y = (x - 3)2 + 2

Теперь видно, что график этой функции можно получить параллельным переносом графика функции y = x2 на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх. То есть сдвиг происходит относительно стандартной параболы y = x2.

Выделение полного квадрата позволяет значительно упростить построение графика.

Алгоритм построения параболы общего вида

Если в уравнении параболы нет возможности выделить полный квадрат, можно воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Определить знак коэффициента a - он задает направление ветвей;
2. Найти координаты вершины параболы;
3. Найти точки пересечения с осями;
4. Воспользоваться симметричностью относительно вершины.

Продемонстрируем работу этого алгоритма на конкретном примере в следующем разделе.

Примеры построения конкретных парабол

Давайте построим график функции:

y = 2x2 - 5x + 3

1. a = 2 > 0, значит ветви направлены вверх;
2. Находим координаты вершины: x0 = -5/4 = -1,25; y0 = -3,125
3. Точки пересечения с осью OX: x1 = 1; x2 = 3
4. Точка пересечения с осью OY: (0; 3)
5. Используя найденные точки, строим симметричную относительно вершины параболу:

Построим еще один пример, для функции:

y = -x2 + 2

1. a = -1 < 0, значит ветви направлены вниз;
2. Вершина в начале координат (0; 2)
3. Пересекает ось OY в точке (0; 2)
4. Строим "перевернутую" симметричную параболу:

Аналогичным образом можно строить графики и для других конкретных уравнений парабол.

Парабола в архитектуре

Одно из распространенных применений формы параболы - использование в архитектуре арок, колонн, мостов параболической формы. Такая форма обладает повышенной прочностью.

Параболическая антенна

Еще один хороший пример - параболическая антенна, которая используется для фокусировки электромагнитных волн в одну точку. Здесь также используются математические свойства параболы.

Парабола в физике

В физике парабола часто используется для описания движения тел, брошенных под углом к горизонту. Траектория такого движения описывается уравнением:

y = x*tan(α) - g*x^2/(2*v0^2*cos^2(α))

Где α - угол бросания, g - ускорение свободного падения, v0 - начальная скорость. При определенных условиях это уравнение упрощается до квадратичной зависимости, то есть описывает параболическое движение.

Применение параболы в экономике

В экономике парабола может использоваться для моделирования спроса и предложения. Например, кривая спроса часто имеет параболическую форму - с ростом цены количество покупок сначала растет, а затем падает. Зная коэффициенты в уравнении кривой спроса, можно оптимизировать ценообразование.

Параболические уравнения в естествознании

Многие процессы в химии, биологии и других науках также подчиняются квадратичным зависимостям. Например:

• Кинетика химических реакций;
• Рост популяций в биологии;
• Тепловое расширение тел;
• Затухание колебаний и волн и др.

Таким образом, умение анализировать параболу, строить ее график при решении уравнений имеет широчайшее прикладное значение.

Использование параболы при решении геометрических задач

Умение строить параболу пригодится и при решении различных геометрических задач.

Например, часто требуется найти площадь фигуры, ограниченной параболой и прямыми линиями. Или определить объем тела вращения, образованного вращением параболы вокруг ее оси.

Для этого нужно:

1. Построить параболу;
2. Определить границы области;
3. Вычислить искомую площадь или объем с помощью интеграла.

Также для построения касательной или нормали к параболе в заданной точке необходимо уметь быстро чертить соответствующий график.

Парабола в информатике и компьютерной графике

В программировании и компьютерной графике парабола также находит широкое применение.

С помощью генерации точек и последующего соединения их линиями можно построить график параболы. А используя текстуры и тени добавить такому изображению реалистичности.

Такие навыки пригодятся разработчикам компьютерных игр и аниматорам.