Дифференциальное однородное уравнение: особенности и решение

Проанализируем один из важных классов дифференциальных уравнений, решающихся сведением к методу разделения переменных за счет подстановки - однородные уравнения. Затронем методы решения линейных уравнений, которые часто путают с однородными.

Однородные уравнения

Для начала дадим определение. F - однородная в том случае, если для нее верно равенство f(kx, ky) = f(x, y), где k - любое ненулевое число. Примеры однородной функции:

F = g3+r3 A = d2 + w2
3g3 + 5r2g 2dw

Чтобы убедиться в их однородности, достаточно аргументы функции F или A умножить на какой-либо коэффициент и посмотреть, не сократится ли он.

Определение однородных дифференциальных уравнений

Замена e(t) = f(1, t)

Выше говорилось о том, что дифференциальные уравнения с однородными функциями сводятся к разделяющимся за счет замены. Для объяснения этого рассмотрим лемму.

Лемма 1. Если w - однородная функция первой степени с аргументами x и y, то верно тождество w(x, y) = e(y/x), при этом e(t) = f(1, t).

Доказывается данная лемма тривиальным образом: для этого просто нужно положить k = 1/x для всех ненулевых x.

Применение замены в решение y' = f(x, y)

Допустим, у нас есть y' = f, где f - однородная функция. Для решения однородного дифференциального уравнения на основе леммы 1 мы можем представить y' = e(y/x). Уравнение разрешимо путем разделения переменных. Положим y/x = v - искомая функция. Значит y = xv, а y' = v + xv'. Получим уравнение вида v + xv' = e(v) или xv' = e(v) - v.

Применение замены в дифференциальном уравнение

Рассмотрим его подробнее. В данном случае решениями уравнения являются все значения v = vn - точки, в которых функция [e(v) - v] обращается в ноль. Соответственно, значения yn = vnx - являются решением y' = e(y/x). В области значений, где [e(v) - v] не обращается в ноль, можно применить разделение переменных. То есть:

dv = dx
-v + e(v) x

Интегрируя, получим решение E = ln|x| + C.

Заметка

Рассмотрим, почему вышеописанная замена работает при решении однородных дифференциальных уравнений. Для этого возьмем общее решение E = ln|x| + C и заменим x на kx и y на ky: E = ln|kx| + C = ln(k) + ln|x| + C. В свою очередь выражение ln(k) + C может быть представлено как W, и тогда решение будет выглядеть как E = ln|x| + W.

Получается, что замена x на kx и y на ky приводит лишь к замещению одного решения другим, но из того же класса. Иными словами, другое решение также удовлетворяет исходному уравнению. Описанное свойство на координатной плоскости называется гомотетией, т. е. интегральные кривые однородных дифференциальных уравнений переходят друг в друга.

Пример 1

Дано уравнение l2 + ml + m2l' + m2 = 0. Найдем его решение. Неопытный глаз может по ошибке торопливо заключить, что данное уравнение не однородно, так как подстановка km вместо m и kn вместо n не дает исходное уравнение. Ошибка в данном случае заключается в том, что уравнение предварительно не было разрешено относительно производной n'. Сделаем.

l' = (-1) l2+ml+m2
m2

В данном виде легко определить, что уравнение однородно.

f(km, kl) = (-1)[(km)2 + (kl)2 + k2ml] = (-1)(l2+ml+m2)k2 = f(m, l)
(km)2 m2k2

Приступим к решению, совершив замену l/m = v. Получим l = vm и l' = mv' + v. Подставим эти значения в уравнение:

mv' + v = (-1)[m2 + (vm)2 + m(vm)] = (-1)(v2m2+m2v+m2) = 1 - v2 - v
m2 m2

Получим mv' = - (v+1)2. Очевидно, что точка -1 - 'nj решение уравнения, а до замены n = -m. При v+1 не равном нулю разделим переменные:

- dv = dm
(v+1)2 m

Из получившегося уравнения в дифференциальной форме легко находится общий интеграл:

ln|Cm| = 1
1+v

Проведем обратную замену:

n = m - m*ln|Cm|
ln|Cm|

Также следует не забывать о найденном ранее решение n = -m.

Линейные дифференциальные уравнения

Часто однородные дифференциальные уравнения путают с линейными. Для полноты вопроса рассмотрим немного и этот класс. Итак, линейным называется дифференциальное уравнение, в котором функция и ее производная располагаются в линейной зависимости, т. е. получаем уравнение, которому присущ следующий вид:

  • o(x)y' + w(x)y = e(x);

w, o, e - представляют собой какие-либо функции.

Для разрешения этого уравнения относительно y' необходимо рассмотреть все корни o(x). Положим, что для некоторого числа o(x0) = 0, тогда одним из решений описанного уравнение будет x0, т.к. получаем o(x0)dy = 0 и dx = 0. Это становится очевидным, если записать дифференциальную форму уравнения, умножив на dx обе части: o(x)dy + w(x)ydx = e(x)dx.

Линейные диф. уравнения

Исключив нулевые значения o(x), для оставшихся значений x записываем уравнение в разрешенном виде, поделив его на o(x).

Решение линейных дифференциальных уравнений

В данном классе уравнений есть два варианта. Первый - когда свободный член p(x) равен нулю (однородное), и второй - когда p(x) не равен нулю (неоднородное). Итак, у нас есть два следующих случая:

  • y' + r(x)y = 0 - однородное уравнение.
  • y' + r(x)y = p(x) - неоднородное уравнение.

Однородное легко приводится к разделенному виду y'/y = -r(x) или dy/y = -r(x)dx. После интегрирования получается общее решение для однородных уравнений: y = Ce-r(x).

Решение диф. уравнений

В общем случае линейное уравнение (неоднородное) решается в несколько этапов:

  1. Сначала решается соответствующее заданному уравнению однородно: p(x) условно приравнивается к 0. Положим, что u - это искомое решение, то есть мы имеем u' + r(x)u = 0. Запомним это тождество.
  2. Введем в неоднородном уравнении замену y = uv, тогда (uv)' + (uv)r(x) = p(x). Проведя некоторые преобразования, имеем v(r(x)u + u') + uv' = p(x). Вспоминая тождество из пункта 1, получаем v'u = p(x). В данном случае из v' = p / u легко находится первообразная.
  3. В итоге решение неоднородного складывается из двух частей: u(C+V), в котором u - решение однородного с нулевой постоянной, а V - первообразная для соотношения p/u.

Еще одна путаница однородных уравнений возникает при рассмотрении однородных систем уравнений. Однако это другой вопрос, рассмотрение которого выходит за пределы данной статьи.

Примеры

Дана задача. Нужно найти решение.

y' + ty = t
t2+1 √(t2+1)

Очевидно, данное уравнение неоднородно, поэтому решим сначала следующее уравнение:

y' + ty = 0
t2+1

Следует отметить, что одним из решений уравнения является y = 0. Нахождение общего решения происходит через дифференциальную форму, которая позволяет воспользоваться разделением переменных:

dy = (-1)tdt
y t2+1

Интегрирование приводит к решению: ln|y| = A - ln(1+t2)/2. Представив A как ln B, можно записать решение более изящно:

y = B
√(t2+1)

Решение неоднородного уравнения выполним другим, аналогичным способом, который называется методом вариации постоянной, или метод Лагранжа. Опишем его теоретически.

Сделаем в дифференциальном уравнение вида r(x)y + y' = p(x) замену y = c(x)e-R(x), в котором R(x) - первообразная r(x), а с(x) - неизвестная функция, которую нужно определить.

После всех преобразований выясняется, что c'(x) = eR(x)f(x). Откуда с(x) легко находится интегрированием. Подставляя с(x) обратно в y = c(x)e-R(x), получаем y = e-R(x)c(x) + De-R(x) - общее решение уравнения, где D - это постоянная, которая возникает при интегрирование c(x).

Пример решения

Применяя метод Лагранжа для нашей задачи, положим:

y = c(t)
√(t2+1)

Подставив эту замену в изначальное уравнение, найдем, что c(t) = (1/2)t2. Запишем решение неоднородного уравнения:

y = x2 + D
2√(t2+1) √(t2+1)

Рассмотрим еще один пример. Найти решения (x - 2xy - y2)dy + y2dx = 0. Заметим, что y = 0 - одно из решений уравнения. Используя этот факт, мы можем поделить все части уравнения на выражение y2dy. После проведения некоторых преобразований получим:

x'y + x(y)(1 - 2y) = 1
y2
Решение примера 3

Следует отметить, что мы словно бы развернули зависимость. Почему нет? x и y в функции являются равноправными и зависят друг от друга. Теперь у нас решается не функция y(x), а x(y), и x'y - это ничто иное, как производная функции x(y) по переменной y. Или dx/dy. В данном виде легко определить, что мы имеем дело с неоднородным уравнением, поэтому решаем данное однородное уравнение так:

x'y + x(y)(1 - 2y) = 0
y2

Получаем x = Cy2e1/y. Остается лишь найти вариационным методом решение изначального уравнения, положив x = y2c(y)e1/y. После подстановки этой замены в уравнение, имеем:

c'(y) = e-1/y
y2

Откуда вычисляем, что c(y) = e-1/y + D. Решение задачи будет выглядеть следующим образом:

y = 0

x = y2 + Dy2e1/y.

Мы рассмотрели способы решения линейных однородных уравнений.