В чем измеряется момент инерции, какой его физический смысл?

Вращение механической системы является одним из распространенных способов движения тел в пространстве. Этот тип движения характеризуется набором физических величин, в названии которых присутствует слово "момент". Данная статья посвящена ответу на следующий вопрос: в чем измеряется момент инерции.

Характеристика движения вращения

Каждый хорошо представляет, о чем идет речь. Достаточно упомянуть вращение колес автомобиля, велосипеда или чертового колеса в парке аттракционов. Если говорить о больших пространствах и массах, то можно вспомнить о вращении нашей Земли вокруг звезды Солнце.

Вращение планет вокруг Солнца

В физике все отмеченные в примерах выше перемещения объектов принято описывать следующим уравнением:

M¯ = dL¯ / dt.

Здесь M - это момент внешней силы, который, действуя на систему в течение времени dt, вызывает изменение ее углового момента на величину dL. Черта над символами говорит о том, что они являются векторами.

Если внешние силы не оказывают никакого момента M¯, тогда уравнение выше переходит в так называемый закон сохранения углового момента L¯, то есть:

L¯ = const.

В физику угловой момент (его также называют моментом импульса) вводится как векторное произведение линейного импульса точки с массой m и скоростью v¯ на вектор r¯, который перпендикулярен оси вращения и соединяет ее с этой точкой, то есть:

L¯ = r¯ * m * v¯.

Если воспользоваться понятием об угловой скорости ω¯ и ее связью с аналогичной линейной величиной v¯, то это равенство можно переписать в таком виде:

L¯ = I * ω¯.

В этом выражении I - это некий коэффициент, связывающий две векторные величины. Он получил название момента инерции.

Величина I в физике

Сохранение момента импульса

В последнем выражении предыдущего пункта величина I равна произведению массы точки на квадрат ее расстояния до оси, то есть:

I = m * r2.

Поскольку все реальные тела не являются материальными точками, а имеют определенные пространственные параметры и форму, то для определения их момента инерции используется исходное выражение выше, которое становится подынтегральным. Общая формула для I тела выглядит так:

I = ∫m(r2 * dm).

Эта математическая формула говорит о том, что чтобы посчитать момент инерции всего тела его нужно мысленно разбить на материальные точки dm, умножить их на квадрат дистанции до оси вращения, а затем все результаты сложить.

Моменты инерции различных тел

В чем измеряется момент инерции тела?

Поскольку выше была приведена основная информация, которую необходимо знать для понимания рассматриваемой величины, то каждый может ответить на вопрос этого пункта. Тем не менее рассмотрим его более подробно.

Итак, в каких единицах измеряется момент инерции тела? И формула для материальной точки, и общее выражение для тела произвольной формы приводят к одному и тому же ответу: величина I абсолютно любой вращающейся системы измеряется в килограммах на квадратный метр (кг*м2).

Конечно же, для выражения момента инерции можно использовать любые долевые единицы от указанного стандарта в СИ. Например, для систем с небольшими массами и линейными размерами I может выражаться в граммах на сантиметр в квадрате (г*см2). Наоборот, в космических масштабах могут применяться мегатонны на астрономические единицы в квадрате (чаще всего используется все же кг*м2 с числом 10, возведенным в большие степени).

Отвечая на вопрос, в чем измеряется момент инерции, следует упомянуть иной подход для выражения этой величины. Для его понимания запишем формулу для изменения момента импульса:

M¯ = dL¯ / dt = I * dω¯ / dt, следовательно, I = M¯ * dt / dω¯.

Поскольку момент сил измеряется в ньютонах на метр (Н*м), dt - в секундах, dω¯ - в радианах в секунду, то получаем для I:

I = [Н*м*с2/рад] или [Дж*с2/рад].

Обе единицы измерения являются верными для I, но они почти не используются при решении задач, поскольку являются производными от стандарта в СИ, то есть от кг*м2. Тем не менее эти единицы (особенно последняя), связаны с физическим смыслом процесса вращения тела.

Смысл величины I

Рассмотрев вопрос, в каких единицах измеряется момент инерции, можно сказать и о том, что означает эта величина.

Если обратить внимание на форму записи момента импульса L¯ через скорость ω¯, то можно заметить ее полное сходство с выражением для линейного импульса. Из этого сходства следует, что момент инерции I - это своего рода масса для движения вращения. Чем больше I, тем труднее придать ускорение системе (раскрутить или остановить ее).

Рассматривая физический смысл I с точки зрения энергии, обратимся к полученной в предыдущем пункте единице измерения - [Дж*с2/рад]. Она показывает, что для момента инерции тела в 1 Дж*с2/рад (1 кг*м2) необходимо моменту сил совершить работу в 1 Дж, чтобы придать угловое ускорение системе, равное 1 рад/с2.

Момент инерции сечения

Испытания на изгиб балки

Отвечая на вопрос, в чем измеряется момент инерции, мы рассмотрели величину I для вращающегося тела. Тем не менее существует еще одна величина, которая называется в математике моментом инерции 2-го порядка. Эта совершенно другая величина, чем рассмотренная. Она рассчитывается через двойной интеграл для произвольного сечения и используется для анализа напряжений изгиба, возникающих в реальных телах при воздействии внешних грузов на них. Этот момент инерции измеряется в единицах длины в четвертой степени, то есть в м4.