Как составить уравнение прямой по двум точкам: двумерный и трехмерный случаи

Прямая в геометрии является одним из самых важных элементов, поскольку из нее собираются многие фигуры как на плоскости, так и в пространстве. Достаточно назвать треугольник, параллелограмм, призму, пирамиду - все они образованы пересекающимися прямыми. В данной статье дан ответ на вопрос, как по двум точкам составить уравнение прямой.

Уравнение прямой для двумерного и трехмерного случаев

Прежде чем переходить к обсуждению вопроса, как по двум точкам составить уравнение прямой, следует понять, о чем идет речь.

Под уравнением прямой понимают равенство, связанное с принятой системой координат, причем все значения переменных, удовлетворяющие ему, должны ложиться на одну прямую. В двумерном и трехмерном случаях это уравнение можно задать в следующем виде:

Q = P + α*u¯

Здесь Q - координаты произвольной точки прямой, P - координаты конкретной точки, принадлежащей прямой, u¯ - направляющий вектор, α - любое действительное число. Направляющий вектор u¯ является параллельным прямой. Это выражение называется параметрически-векторным уравнением.

В двумерном случае каждая точка на плоскости однозначно задается двумя координатами x и y, поэтому можно записать уравнение прямой в виде:

(x; y) = (x₀; y₀) + α*(a; b)

Где (x₀; y₀) - координаты известной точки прямой, (a; b) - координаты направляющего вектора. В параметрическом виде это уравнение можно переписать как систему из двух уравнений:

x = x₀ + α*a;

y = y₀ + α*b.

Выражая параметр альфа и приравнивая полученные равенства, приходим к виду:

y = b/a*x+(y₀-x₀*b/a) или

y = A*x + C, где A = b/a, C = (y₀-x₀*b/a)

Полученное выражение знакомо каждому школьнику. Оно называется общим уравнением прямой на плоскости.

В пространстве каждая точка задана не двумя, а тремя координатами, поэтому ее уравнение параметрически-векторное принимает форму:

(x; y; z) = (x₀; y₀; z₀) + α*(a; b; c)

Параметрически-векторное уравнение удобно использовать, когда нужно составить уравнение прямой, проходящей через две точки.

Прямая и две точки

Теперь рассмотрим непосредственно вопрос статьи. Как по двум точкам составить прямой уравнение? Сначала получим уравнение на плоскости, а затем обобщим его для трехмерного случая.

Предположим, что имеется две точки на плоскости P(x₁; y₁) и Q(x₂; y₂). Если взять разность координат точек, то мы получим вектор, который направлен от одной из них к другой. Этот вектор равен:

PQ¯(x₂-x₁; y₂-y₁)

В данном случае PQ¯ направлен от P (начало направленного отрезка) к Q (его конец). Поскольку обе точки принадлежат прямой, то и вектор PQ¯ принадлежит ей. Это означает, что его можно считать направляющим. Уравнение прямой принимает вид:

(x; y) = (x₁; y₁) + α*(x₂-x₁; y₂-y₁)

Здесь мы взяли точку P. Если ее заменить точкой Q, то уравнение не изменится.

Как по двум точкам составить уравнение прямой в пространстве? Обобщая полученную формулу для плоскости, получаем:

(x; y; z) = (x₁; y₁; z₁) + β*(x₂-x₁; y₂-y₁; z₂-z₁)

Другая буква для параметра взята чтобы показать независимость этого и предыдущего уравнений.

Пример решения задачи

Разобравшись, как составить прямой уравнение по двум точкам, приведем пример использования полученных знаний для двумерного случая.

Пусть имеются точки на плоскости (3; -4) и (0; 7). Необходимо составить через две точки прямой уравнение.

Вычисляем координаты направляющего вектора:

(0-3; 7-(-4)) = (-3; 11)

Параметрически-векторное уравнение имеет вид:

(x; y) = (3; -4) + α*(-3; 11)

Раскроем его и приведем к общему виду:

x = 3 - 3*α => α = (x-3)/(-3);

y = -4+11*α => α = (y+4)/11;

(x-3)/(-3) = (y+4)/11 =>

y = -11/3*x+7.

Мы получили уравнение в привычном (общем) виде. Можно проверить его справедливость, подставив координаты обеих точек из условия задачи.