Ускорение кориолисово: особенности, теорема и описание

При рассмотрении базового курса физики изучают механическое движение тел в инерционной системе отсчета, в которой являются справедливыми законы Ньютона. Если же рассматривается несколько систем отсчета, которые движутся друг относительно друга, то задача перемещения тел в пространстве сводится к проблеме сложного движения. Во время такого типа движения появляется так называемое кориолисово ускорение. В статье рассмотрим, что оно собой представляет, как проявляется на практике и как его вычисляют.

Сложное движение тела

Прежде чем говорить о кориолисовом ускорении, познакомимся с важными понятиями, которые касаются механики сложного движения. Под последним понимают такой тип перемещения объектов, когда они изменяют по некоторому закону свои координаты относительно неинерциальной системы отсчета, которая, в свою очередь, движется относительно абсолютной или инерциальной системы.

Любое абсолютное движение тела (перемещение относительно базовой инерциальной системы) раскладывается на следующие составляющие:

• Относительное движение. Оно определяет перемещение тела относительно неинерциальной системы.
• Переносное движение. Это перемещение неинерциальной системы относительно инерциальной или базовой.

Таким образом, несмотря на то, что движение называют сложным, рассчитать траекторию перемещения тела не так уж и сложно, если знать закон изменения относительной и переносной скоростей во времени.

Теорема Кориолиса

В 1830-е годы, изучая перемещение тел (снарядов) в пределах земной атмосферы, французский ученый Гаспар Кориолис сформулировал теорему, которая в настоящее время носит его фамилию. Эта теорема гласит, что ускорение абсолютное, то есть то, которое видит наблюдатель, находясь в инерциальной системе отсчета, будет равно векторной сумме трех ускорений: относительного, переносного и кориолисова ускорения. Первые два вида определяются исключительно законами перемещения тел и систем отсчета относительно друг друга. В данной статье мы их рассматривать не будем. Куда более интересно разобраться со смыслом и определением кориолисова ускорения и связанной с ним силой.

Что такое сила Кориолиса, когда она возникает?

Предположим, что у нас имеется система отсчета, которая вращается вокруг некоторой оси с постоянной угловой скоростью. Такая система, естественно, является неинерциальной, поскольку любой предмет, находящийся в ней, испытывает центростремительное ускорение.

Если во вращающейся системе тело находится в состоянии покоя, то относительно наблюдателя, находящегося в этой системе, на тело будет действовать фиктивная сила, которая называется центробежной. Эта сила пытается вытолкнуть тело подальше от оси вращения. Чтобы этого не произошло, тело необходимо зафиксировать каким-либо способом.

Теперь предположим, что во вращающейся системе тело начало двигаться. Причем не важно, куда направлен будет вектор его скорости. На такое тело начнет действовать сила, которая будет направлена перпендикулярно оси вращения системы и вектору скорости. Она называется кориолисовой силой. Она приводит к смещению траектории движения тела. Направление смещения зависит от относительных направлений линейной скорости тела и вращения всей системы. Сила Кориолиса так же, как центробежная, является ненастоящей, фиктивной, то есть причина ее возникновения кроется в инерционных свойствах тел.

Куда направлена сила Кориолиса?

Чтобы ответить на поставленный в названии пункта вопрос, рассмотрим конкретный простой случай. Пусть пушка, находясь на широте экватора, совершает выстрел, направив свое дуло строго на север. Если бы наша Земля не вращалась с запада на восток, то снаряд, пролетев некоторое расстояние, упал бы на той же долготе, на которой находится пушка. Из-за указанного вращения планеты снаряд упадет на меридиане, который находится правее (восточнее), чем меридиан с пушкой.

Таким образом, направляя снаряд строго на север, мы получим некоторое отклонение его к востоку. Наоборот, если бы пушка совершала выстрел с северного полюса вдоль меридиана к экватору, то снаряд бы отклонился к западу. Такая же ситуация наблюдается, если рассматривать полет снаряда в Южном полушарии нашей планеты.

В чем причина такого поведения снаряда? Она заключается в инерционных свойствах движущегося тела. Поскольку Земля имеет форму шара (в действительности - геоида), то линейная скорость точки, расположенной в области экватора (низких широт) превышает таковую для более высоких широт. Непосредственно во время выстрела снаряд обладал экваториальной (большой) линейной скоростью, направленной на восток вдоль поверхности планеты. Ели пренебречь сопротивлением воздуха, то, находясь в полете в более высоких широтах, снаряд сохранит свою начальную, направленную на восток, скорость, и она будет больше, чем скорость вращения воздушных масс в этих широтах. Последний факт приводит к смещению снаряда в восточном направлении.

Аналогичные рассуждения можно привести, если снаряд направляется с высоких широт к экватору. В этом случае его тангенциальная (направленная на восток) скорость будет меньше линейной скорости вращения воздушных масс низких широт, что проявляется в отклонении снаряда в западном направлении.

В соответствии со вторым законом Ньютона, любая сила приводит к появлению ускорения, которое направлено точно так же, как вектор этой силы. Зная направление силы Кориолиса, можно легко ответить на вопрос, как направлено кориолисово ускорение.

Компоненты силы Кориолиса

Выше мы рассмотрели, когда возникает кориолисово ускорение. или сила Кориолиса. Теперь изучим вопрос с геометрической точки зрения. Предположим, что имеется вращающийся горизонтально с постоянной скоростью диск вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. На этом диске находится произвольное тело. Так как наше пространство является трехмерным, то тело может двигаться в одном из трех направлений:

• Вертикально вверх или вниз. В этом случае расстояние до оси не изменяется, поэтому единственными силами, действующими на тело, будут центробежная и центростремительная.
• Радиально, то есть перпендикулярно оси к ней или от нее. В этом случае появляется кориолисова сила, имеющая тангенциальный характер.
• Тангенциально, то есть по касательной к траектории вращения. В такой ситуации также возникает кориолисова сила, направленная по радиусу к оси или от нее в зависимости от направления тангенциальной скорости смещения.

Таким образом, рассматривая вектор ускорения и кориолисово ускорение, можно сказать, что в случае произвольного перемещения тела во вращающейся системе оно образовано двумя составляющими: тангенциальной и радиальной.

Вычисление тангенциальной компоненты

Рассматривая вопрос, как найти ускорение кориолисово тангенциальное, напомним о двух важных физических величинах: момент силы и момент импульса. Первый определяется произведением силы на плечо относительно оси вращения, второй равен произведению импульса материальной точки на радиус вращения. Если момент внешних сил M, действующих на систему, равен нулю, то ее момент импульса L остается неизменным, то есть:

dL/dt = 0, если M = 0

Обратимся к примеру в предыдущем пункте. Предположим, что на вращающемся диске стоит человек, и лежит тело массой m. Человек дергает за нить и перемещает за время dt тело вдоль радиуса R на расстояние dR. Поскольку момент силы равен нулю (плечо силы равно нулю), то момент импульса тела при этом сохраняется. Тогда получаем:

dL = d(m*v*R) = m*R*dv + m*v*dR = 0 =>

dv = -v*dR/R

Это равенство показывает, на сколько будет изменяться скорость (dv), если изменить радиус на dR. Знак минус говорит о том, что увеличение радиуса приводит к уменьшению линейной скорости, и наоборот.

Поскольку радиус вращения изменился на dR, то линейная скорость вращения точек диска для нового положения тела изменилась на следующую величину:

dv₂ = ω*dR

Кориолисово ускорение тангенциальное a_t определяется разностью изменений записанных скоростей, то есть:

a_t = dv₃/dt = (dv-dv₂)/dt = -2*ω*v_r, где v_r = dR/dt

Здесь v_r - радиальная скорость перемещения тела. Соответственно сила Кориолиса определяется по формуле:

F_t = -2*m*ω*v_r

Определение радиальной компоненты

Выше мы показали, как определить кориолисово ускорение, если тело дергают за нитку, перемещая его вдоль радиуса вращающегося диска. Теперь то же самое тело дернем за нитку по касательной к направлению вращения. В этом случае возникает дополнительная линейная тангенциальная скорость v_t. Полная линейная скорость тела будет равна:

v = ω*R + v_t

Для наблюдателя, находящегося в инерциальной (неподвижной) системе отсчета центростремительная сила вычисляется по такой формуле:

F = m*v²/R = m/R*(ω*R + v_t)² = m*(ω²*R + 2*ω*v_t + v_t²/R)

В полученном выражении первое слагаемое соответствует центробежной силе, третье слагаемое равно дополнительной центростремительной силе, связанной с появлением тангенциальной скорости v_t у тела. Наконец, второе слагаемое - это сила Кориолиса, которая направлена вдоль радиуса. Формула кориолисова ускорения нормального a_n запишется так:

a_n = 2*ω*v_t

Видно, что если v_t=v_r, то обе компоненты (тангенциальная и радиальная) рассматриваемого ускорения будут равны по величине.

Кориолисово ускорение движущейся точки на Земле

Мы выяснили, что если тело приближается к оси вращения, то возникает тангенциальное ускорение, модуль которого определяется по формуле:

a_t = 2*ω*v_r

Радиальная скорость в случае, если движение рассматривается на нашей планете, зависит от широты θ согласно следующей формуле:

v_r = v*sin(θ)

Если тело перемещается вдоль некоторой широты θ, то расстояние до оси вращения Земли не изменяется, однако, кориолисова сила все же возникает, как было установлено выше, и направлена она вдоль радиуса. Линейная компонента скорости при этом определяется также по формуле выше.

Таким образом, каким бы не было движение тела около поверхности Земли, кориолисово ускорение можно найти по формуле:

a = 2*ω*v*sin(θ) .

Где ω - угловая скорость вращения планеты, v - линейная скорость тела, относительно наблюдателя на Земле. Направление кориолисова ускорения всегда перпендикулярно оси вращения и скорости (вправо от нее).

Количественный расчет эффекта Кориолиса

Чтобы иметь представление о величине кориолисова ускорения на нашей планете, приведем простой расчет. Учтем, что тело движется на некоторой высоте от поверхности со скоростью 1 м/с. Если движение происходит на широте 45^o, тогда значение ускорения будет равно:

a = 2*7,3*10^-5*1*sin(45^o) = 10^-4 м/с²

Эта величина практически на 5 порядков меньше ускорения свободного падения.

Эффект Эотвоса (Eötvös effect)

Этот эффект состоит в изменении веса тела, когда оно движется с некоторой скорость вдоль параллели на Земле. Если тело движется на восток, то оно становится немного легче, если на запад, то немного тяжелее, чем его вес в покое на поверхности планеты.

Причина эффекта заключается в появлении радиальной компоненты силы Кориолиса, которая в случае движения на восток направлена вертикально вверх, а в случае движения тела на запад - вертикально вниз.

Сила Кориолиса и природные процессы

Рассмотренная сила проявляет себя в значительном отклонении от направления движения север-юг воздушных масс и морских течений на Земле.

Например, теплое течение Гольфстрим начинается в Мексиканском заливе. В результате действия силы Кориолиса оно пересекает Атлантический океан, смещаясь к востоку, и проходит вдоль западного побережья Европы.

Другой пример - ветра пассаты. Воздушные массы, которые движутся с высоких широт Северного и Южного полушарий к экватору, испытывают влияние кориолисовой силы, которая придает им некоторую скорость, направленную на запад. Благодаря этим ветрам в Новое время осуществлялись путешествия на парусных кораблях из Европы в обе Америки.