Что такое "действительные числа" - раскрываем тайну

Автор Екатерина Андреева December 16, 2023

Действительные числа - одно из фундаментальных понятий математики, без которого невозможно представить современную науку и технику. Но что же скрывается за этим на первый взгляд простым термином? Давайте попробуем разгадать эту тайну и познакомиться поближе с удивительным миром действительных чисел.

История открытия действительных чисел

Потребность в действительных числах возникла еще в Древней Греции, когда математики обнаружили существование величин, не выражаемых целыми числами или их отношениями. Например, оказалось, что отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны является иррациональным числом.

Наиболее раннее упоминание об иррациональных числах встречается в трудах Аристотеля, который писал: "Пифагорейцы... конструировали всю Вселенную из чисел, но не из любых чисел, а только из десятичных"... Они полагали, что "вещи сами по себе числа, остальные же (вещи) участвуют в числе" (Метафизика, 985 b)

Однако долгое время иррациональные числа не признавались в качестве полноценных математических объектов, получая такие прозвища как "неразумные", "мнимые", "абсурдные". Лишь в 16-м веке Симон Стевин реабилитировал иррациональные числа:

Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной законченностью.

Тем не менее, вплоть до 19 века действительные числа использовались лишь интуитивно, без строгого математического определения. Многие утверждения о свойствах этих чисел и функций от них считались очевидными и не требовали доказательств. Это приводило к многочисленным ошибкам и парадоксам.

Первая попытка строгого определения действительных чисел была предпринята Б.Больцано в 1817 году в работе "Чисто аналитическое доказательство теоремы, что между любыми двумя значениями, дающими результаты противоположного знака, лежит по меньшей мере один действительный корень уравнения". Однако эта работа не получила признания современников.

По-настоящему строгая теория действительных чисел была разработана лишь во второй половине 19 века К.Вейерштрассом, Р.Дедекиндом и Г.Кантором. Их подходы, хотя и отличались в деталях, но привели к эквивалентным результатам, заложив прочный фундамент для всей последующей математики.

Свойства и классификация действительных чисел

Итак, что же такое действительные числа с точки зрения современной математики? Дадим следующее определение:

Действительным называется число, которое может быть представлено в виде бесконечной десятичной дроби.

То есть действительными являются как обычные рациональные числа вроде $-5$, $\frac{3}{4}$, $0,25$, так и иррациональные числа вроде $\sqrt{2}$, $\pi$, $0,1234567891011...$ образующие бесконечную непериодическую дробь.

Действительные числа классифицируют на классы действительных чисел следующим образом:

Рациональные числа
Иррациональные числа (представимые бесконечной непериодической десятичной дробью)

На числовой оси эти классы действительных чисел располагаются следующим образом:

Между любыми двумя целыми числами на этой прямой находятся бесконечно много дробных и иррациональных чисел.

Конструктивные определения действительных чисел

Один из распространенных подходов к определению действительных чисел - конструирование их как пределов последовательностей рациональных чисел. Этот подход реализован в трех основных теориях:

Теория фундаментальных последовательностей
Теория бесконечных десятичных дробей
Теория дедекиндовых сечений

Рассмотрим их подробнее.

В теории фундаментальных последовательностей вводится понятие предела последовательности и условие Коши:

Последовательности удовлетворяющие этому условию называются фундаментальными, а их пределы и определяют действительные числа.

В теории бесконечных десятичных дробей действительные числа конструируются как пределы бесконечных десятичных представлений вида:

x = 0.d₁d₂d₃...

где d_i - цифры от 0 до 9.

Наконец, в теории Дедекинда используется понятие сечения - подмножества рациональных чисел, удовлетворяющего условию:

Если s есть сечение и
r∈s, q∈Q, q<r То существует p∈s : q<p<r

Каждому сечению ставится в соответствие действительное число - так называемый рубеж сечения.

Эквивалентность конструктивных определений

Несмотря на различие подходов, все три конструктивные теории приводят к одному и тому же множеству действительных чисел. Можно показать, что между элементами, построенными в рамках каждой из теорий, устанавливается взаимно-однозначное соответствие. Например, каждому действительному числу, определенному как предел фундаментальной последовательности в первой теории, можно сопоставить эквивалентное действительное число в виде бесконечной десятичной дроби или дедекиндова сечения.

Такая эквивалентность позволяет использовать любой из подходов, в зависимости от решаемой задачи и удобства работы с тем или иным математическим аппаратом. В результате мы получаем единое множество действительных чисел.

Полнота множества действительных чисел

Важным свойством множества действительных чисел является его полнота. Это означает, что в нем содержатся все пределы возможных фундаментальных последовательностей его элементов. Иными словами, множество действительных чисел не нуждается в дальнейшем расширении при помощи каких-либо новых числовых систем.

Благодаря этому свойству, множество действительных чисел замкнуто относительно всех числовых операций и является математически самодостаточным.

Алгебра действительных чисел

Действительные числа образуют алгебраическую структуру - алгебру действительных чисел. Это означает выполнение в множестве действительных чисел таких аксиом:

Коммутативность сложения и умножения
Ассоциативность сложения и умножения
Дистрибутивность умножения
Наличие нейтральных элементов (0 для сложения, 1 для умножения)

Благодаря этому, над действительными числами имеет смысл выполнять арифметические операции и использовать их в математических выкладках и вычислениях.

Аксиоматическое определение действительных чисел

Помимо конструктивных определений, существует также аксиоматический подход к определению такого понятия как действительное число. В его рамках формулируется система аксиом, задающих свойства действительных чисел, а затем показывается, что эти аксиомы имеют единственную модель с точностью до изоморфизма.

Добавить комментарий