Выпуклый четырехугольник: интересные свойства фигуры

Автор Ольга Борисова December 19, 2023

Выпуклые четырехугольники - удивительные геометрические фигуры, которые скрывают в себе множество интересных свойств. Изучая их, можно не только расширить свои математические познания, но и научиться решать сложные геометрические задачи с практическим применением в реальной жизни.

Основные определения

Выпуклый четырехугольник - это четырехугольник, который полностью располагается по одну сторону от любого отрезка, соединяющего две его вершины. Иными словами, выпуклая фигура не имеет "вмятин" и "выступов".

Существует несколько разновидностей выпуклых четырехугольников:

Прямоугольник
Параллелограмм
Ромб
Квадрат
Трапеция

Давайте разберемся с основными терминами, которые будут встречаться в нашей статье:

Диагональ - отрезок, соединяющий две несоседние вершины четырехугольника
Периметр - сумма длин всех сторон четырехугольника
Площадь - величина, численно равная мере поверхности четырехугольника

Свойства сторон и углов

Одним из важнейших свойств выпуклого четырехугольника является то, что сумма всех его внутренних углов равна 360°. Это можно доказать, разбив четырехугольник по диагонали на два треугольника - в каждом из них сумма углов будет равна 180°, а вместе они дадут 360°.

Также интересным фактом является то, что противолежащие стороны и углы параллелограмма равны. Это свойство особенно полезно при решении задач с неизвестными элементами.

Например, если в параллелограмме ABCD известно, что сторона AB = 5 см, BC = 3 см, то мы можем легко найти длину сторон CD и AD, так как они равны соответственно сторонам AB и BC.

Свойства диагоналей

Диагонали выпуклых четырехугольников также обладают интересными свойствами. В частности, диагонали параллелограмма всегда делят его на два равных треугольника. Это означает, что если соединить точки пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, то получится четыре равных треугольника.

Такое свойство диагоналей параллелограмма широко используется при решении различных геометрических задач. Например, если нам дан параллелограмм ABCD и известна длина одной диагонали AC, то длину второй диагонали BD можно легко найти по теореме Пифагора, воспользовавшись равенством треугольников ABD и ADC.

Формулы для вычисления площади и периметра

Площадь и периметр

Для вычисления периметра любого выпуклого четырехугольника используется простая формула:

P = a + b + c + d

где a, b, c и d - длины сторон четырехугольника.

Что касается площади выпуклого четырехугольника, то ее можно найти несколькими способами, в зависимости от того, какие элементы четырехугольника нам даны.

Например, если известны длины диагоналей d1 и d2 и угол между ними α, то площадь вычисляется по формуле:

S = (d1 * d2 * sinα) / 2

Формула для площади четырехугольника	`S = (d1 * d2 * sinα) / 2`
где	d1 и d2 - длины диагоналей
	α - угол между диагоналями

А в случае, если даны длины всех сторон a, b, c и d, то формула для площади будет такой:

S = √((p-a)*(p-b)*(p-c)*(p-d))

где p - полупериметр четырехугольника: p = (a + b + c + d) / 2

Площадь и периметр

Кроме того, для нахождения площади выпуклого четырехугольника можно также воспользоваться формулой, выражающей площадь через длины сторон и угол между ними:

S = 1/2(a*c*sin(A) + b*d*sin(C))

где a, b, c, d — длины сторон четырехугольника, A и C — углы между сторонами a, c и b, d соответственно.

Вычисление элементов четырехугольника

Зная свойства выпуклых четырехугольников, можно находить длины их элементов, если известны другие элементы. Например, если даны три стороны и две диагонали четырехугольника, то четвертую сторону можно найти из теоремы Пифагора.

Построение четырехугольника

Иногда бывает необходимо построить четырехугольник с заданными свойствами. Для этого также используют известные нам факты о выпуклых четырехугольниках.

Например, для построения параллелограмма достаточно задать одну сторону и две смежные, так как у параллелограмма противолежащие стороны равны.

Свойства выпуклого четырехугольника, вписанного в окружность

Еще одним интересным объектом для изучения является выпуклый четырехугольник, вписанный в окружность. У такого четырехугольника есть замечательное свойство: произведение его диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.

То есть, если обозначить стороны четырехугольника через a, b, c и d, а его диагонали через p и q, то будет справедливо соотношение:

p * q = a * c + b * d

Это свойство часто используется при решении задач на выпуклый четырехугольник, вписанный в окружность.

Применение свойств выпуклых четырехугольников

Рассмотренные свойства выпуклых четырехугольников позволяют решать множество геометрических задач, в том числе на вычисление периметра, площади, отдельных элементов четырехугольника.

Примеры задач на вычисление площади выпуклого четырехугольника

Допустим, дан выпуклый четырехугольник ABCD. Известно, что AB = 5 см, BC = 4 см, CD = 6 см, AD = 3 см. Требуется найти площадь этого четырехугольника.

Решение: запишем формулу для площади через стороны и вычислим полупериметр p:

p = (5 + 4 + 6 + 3) / 2 = 9 см

Подставляя значения в формулу, получаем:

S = √((p−5)*(p−4)*(p−6)*(p−3)) = √(4*5*3*6) = 12 см²

Задачи на построение четырехугольника

Часто бывает необходимо построить четырехугольник по некоторым заданным параметрам. Например, даны две стороны a и b и угол γ между ними. Требуется построить выпуклый четырехугольник с такими сторонами и углом.

Для решения проведем через конец отрезка а отрезок b под углом γ. Затем зеркально отобразим полученный угол относительно прямой, проходящей через отрезок b. Соединив полученные точки, мы получим искомый четырехугольник.