Равные треугольники - определение, признаки и свойства

Треугольники являются одними из самых распространенных геометрических фигур. Но как определить, одинаковы ли два треугольника? В этой статье разберем подробно определение, основные признаки и свойства равных треугольников.

Определение равных треугольников

Итак, давайте начнем с определения равных треугольников:

Два треугольника называются равными , если они имеют:

• равные стороны,
• равные углы.

То есть если мы можем наложить один треугольник на другой так, что все их стороны и углы полностью совпадут. Например, можно нарисовать два красных треугольника с одинаковыми сторонами и углами - они будут равны.

Из определения равных треугольников вытекают следующие свойства:

• В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.
• В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.
• Сумма углов каждого треугольника равна 180°.

Эти свойства часто используются при доказательстве равенства треугольников в задачах.

Признаки равенства треугольников

Существуют три основных признака равенства треугольников . С их помощью можно установить равенство двух треугольников, зная лишь некоторые их элементы:

1. Первый признак: если две стороны и угол между ними в одном треугольнике равны сторонам и углу другого.
2. Второй признак: если сторона и два прилежащих угла в одном треугольнике равны стороне и углам другого.
3. Третий признак: если все три стороны одного треугольника равны сторонам другого.

Например, можно описать два треугольника, у которых есть общая сторона длиной 5 см, вторая сторона является гипотенузой, а между этими сторонами угол 70 градусов. Эти одинаковые элементы по первому признаку доказывают, что сами треугольники равны.

Доказательство равенства треугольников

Часто в задачах требуется доказать равенство двух треугольников . Для этого используют признаки равенства треугольников.

Алгоритм доказательства такой:

1. Записать, что дано в условии задачи про стороны и углы каждого треугольника.
2. Выбрать подходящий признак равенства треугольников, исходя из имеющихся данных.
3. Записать, какие равные элементы (стороны, углы) в соответствии с этим признаком имеют данные треугольники.
4. Сделать вывод, что треугольники равны на основании выбранного признака.

Например, можно описать два треугольника, у которых даны длины сторон и величина одного из углов. Исходя из этих данных о равных сторонах и угле, делается вывод об общем равенстве треугольников по первому признаку.

Таким образом, используя соответствующие признаки, можно доказывать равенство треугольников при решении различных задач.

В следующей части статьи рассмотрим интересные примеры применения свойств равных треугольников на практике.

Использование в строительстве

Одно из распространенных применений равных треугольников - это строительство различных конструкций. Например, при создании строительных лесов или опор вышек часто используются треугольные элементы.

Благодаря тому, что стороны треугольника жестко фиксируются, такая конструкция получается очень устойчивой. Это и есть применение на практике третьего признака равенства треугольников - по трем сторонам.

Определение расстояний

Еще одно интересное и полезное применение свойств равных треугольников - это определение расстояний, которые сложно или невозможно измерить напрямую.

Например, чтобы узнать расстояние от берега до корабля в море, можно использовать такой прием: на берегу отметить точку А и построить треугольник АВС с известными сторонами и углами. Затем найти на корабле точки D и E так, чтобы получился равный треугольник DEF. По длине стороны DE можно вычислить неизвестное расстояние от берега до корабля.

определение существования треугольника

Иногда в задачах по геометрии встречается такой вопрос: существует ли треугольник с заданными сторонами или нет? Чтобы ответить на него, используется определение существования треугольника.

Оно гласит: чтобы при заданных длинах трех отрезков AB, BC и AC существовал треугольник ABC, необходимо и достаточно, чтобы сумма любых двух сторон была больше третьей стороны.

Это позволяет проверить, можно ли построить треугольник с конкретными длинами сторон или такой треугольник не существует в принципе.

Практическое применение в топографии

Знания о признаках равенства и свойствах треугольников активно применяются в топографии - науке об измерениях и составлении планов местности.

С помощью равных треугольников можно косвенно находить расстояния между недоступными точками, вычислять высоты объектов и так далее.

Также в топографии конструируют специальные теодолиты - измерительные приборы, у которых основой служат два равных треугольника с общей стороной и вершиной.

Исторический факт: Фалес и пирамиды

Древнегреческий математик и философ Фалес еще в VI веке до н.э. применил теорию подобных треугольников для измерения высот пирамид в Египте.

Он воспользовался тем, что при солнечном свете образуется треугольник из тени пирамиды. Замерив его стороны, Фалес вычислил высоту самой пирамиды, так как треугольники оказались подобными.