Гиперболический синус: определение и использование

Гиперболические функции являются важным математическим аппаратом, находящим широкое применение в различных областях науки и техники. В данной статье мы подробно рассмотрим определение этих функций, их свойства и основные формулы.

Определение гиперболических функций

Гиперболические функции определяются через координаты точки на гиперболе аналогично тому, как тригонометрические функции связаны с координатами точки на единичной окружности.

Рассмотрим гиперболу в координатной плоскости. Пусть точка M(x, y) лежит на ветви гиперболы в первой четверти. Тогда определяются гиперболический синус и гиперболический косинус:

• гиперболический синус: sh x = y
• гиперболический косинус: ch x = x

Для точки на другой ветви гиперболы определения аналогичны с заменой знака у y.

Свойства гиперболических функций

Рассмотрим основные свойства гиперболического синуса sh x:

1. Нечетная функция: sh(-x) = -sh(x)
2. Возрастает на всей числовой оси от -∞ до +∞
3. Непрерывна на всей числовой оси

Аналогично можно сформулировать свойства для ch x, th x и cth x.

Рассмотрим некоторые важные формулы для гиперболических функцийфункций.

Связь с тригонометрическими функциями

• sin ix = i sh x
• cos ix = ch x

Формула гиперболического синуса для суммы аргументов:

sh (x + y) = sh x · ch y + ch x · sh y

А также формула для разности аргументов:

sh (x - y) = sh x · ch y - ch x · sh y

Производные и интегралы

• Производная гиперболического синуса:

  d/dx (sh x) = ch x

• Интеграл от гиперболического синуса:

  ∫ sh x dx = ch x + C

Подобные формулы справедливы и для других гиперболических функций.

Гиперболические функции широко используются в различных областях математики и ее приложениях. Рассмотрим несколько примеров.

Решение дифференциальных уравнений

Гиперболические функции позволяют записывать решения некоторых типов дифференциальных уравнений в простом виде. Например, уравнение:

y'' - 2y' + 4y = 0

Имеет частное решение вида:

y = c₁·e^2x + c₂·e^-2x = c₁·ch 2x + c₂·sh 2x

Решение тригонометрических уравнений

С помощью формул связи гиперболических и тригонометрических функций можно решать некоторые тригонометрические уравнения:

sin 2x + cos 2x = 1

Подставляя гиперболические функции, получаем:

sh 2ix + ch 2ix = 1

Отсюда x = π/4 + πk, k ∈ Z

В данной статье мы рассмотрели основные понятия, связанные с гиперболическими функциями - их определение, свойства и формулы. Как видно из приведенных примеров, гиперболические функции являются важным математическим инструментом и находят широкое применение при решении задач из разных областей.

Доказательство формул сложения

Докажем одну из важнейших формул для гиперболических функций - формулу сложения аргументов. Рассмотрим гиперболический синус:

sh (x + y) = sh x · ch y + ch x · sh y

Запишем гиперболический синус через экспоненту:

sh x = (e^x - e^-x) / 2

Тогда:

sh (x + y) = (e^x+y - e^-x-y) / 2

Раскроем скобки:

sh (x + y) = (e^x · e^y - e^-x · e^-y) / 2

Используя формулы для sh x и ch x, получаем требуемое тождество. Аналогично доказывается формула для ch(x + y).

Решение дифференциальных уравнений

Рассмотрим применение гиперболических функций для решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Например:

y'' + 4y = 0

Характеристическое уравнение имеет корни λ_1,2 = ±2i. Следовательно, общее решение ищется в виде:

y = c₁·e^2ix + c₂·e^-2ix

Заменяя экспоненты гиперболическими функциями, получаем:

y = c₁·ch 2x + c₂·sh 2x

Гиперболические функции в электротехнике

Важное применение гиперболические функции находят в электротехнике при анализе электрических цепей. Рассмотрим цепь, состоящую из конденсатора емкостью C и катушки индуктивности L. При определенных начальных условиях ток в этой цепи описывается формулой:

i(t) = I_m · sh(ωt)

где ω = 1/√(LC) - резонансная частота контура.

Теория упругости

В теории упругости при решении задач об изгибе балок гиперболические функции также находят применение. Рассмотрим балку, закрепленную по концам. При заданной поперечной нагрузке q(x) прогиб балки w(x) определяется дифференциальным уравнением:

EI · w''''(x) = q(x)

Решение этого уравнения при равномерно распределенной нагрузке можно записать через гиперболический синус:

w(x) = (q⁄EI) · (x·l − x2) · sh(πx⁄l)

Решение тригонометрических неравенств

С помощью гиперболических функций можно также решать некоторые тригонометрические неравенства. Рассмотрим пример:

2 sin x > cos x, 0 ≤ x ≤ 2π

Заменяя тригонометрические функции гиперболическими, получаем эквивалентное неравенство:

2 sh ix > ch ix

Решая его и возвращаясь к переменной x, находим ответ: (π/3, 5π/3).