Тайна формулы Стирлинга: как найти факториал числа

Вы когда-нибудь задумывались, как подсчитать, сколькими способами можно расставить 50 кошек по 50 печкам? А может, вам интересно узнать, сколько вариантов существует раздать 5 шоколадок 5 друзьям? На помощь в решении таких задач приходит удивительная формула Стирлинга.

Эта формула позволяет быстро подсчитать факториал больших чисел - то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до заданного числа. С помощью формулы Стирлинга можно найти количество перестановок, размещений и сочетаний в комбинаторике, вероятности событий в теории вероятностей и многое другое.

Но мало кто знает, кто открыл эту удивительную формулу и при каких обстоятельствах. Давайте познакомимся поближе с сэр Стирлинг мосс формула и ее создателем!

Кто такой Стирлинг и как он нашел свою формулу

Джеймс Стирлинг - выдающийся шотландский математик XVIII века. Он внес большой вклад в развитие математического анализа, теории чисел и вероятностей.

Свою знаменитую формулу Стирлинг нашел в 1730 году, когда ему было всего 26 лет. Работая над задачей вычисления логарифмических интегралов, он получил приближенное выражение для факториала.

Формула Стирлинга гласит:

n! ≈ √(2πn)(n/e)n

Где n - число, факториал которого нужно найти, а e - число Эйлера.

Это выражение позволяет найти факториал n, не перемножая все числа от 1 до n, как в классическом определении факториала, а лишь возводя n в степень и извлекая корень. Благодаря этому формула Стирлинга работает намного быстрее при больших значениях n.

Как Стирлинг нашел свою формулу

Сам Стирлинг не оставил подробных записей о том, как именно он получил свою знаменитую формулу. Но, по мнению историков науки, он использовал разложение логарифмических интегралов по формуле Тейлора.

Для этого Стирлинг взял интеграл от ln(x) и применил к нему разложение Тейлора. Получившуюся сумму он приравнял к выражению для факториала и, преобразовав его, получил свою знаменитую формулу.

Этот подход был довольно смелым и новаторским для того времени. Именно поэтому формула Стирлинга произвела настоящую революцию в вычислительной математике.

Почему формула Стирлинга так важна

Значение формулы Стирлинга трудно переоценить. Вот лишь некоторые причины, почему эта формула стала настоящей находкой:

• Позволяет быстро вычислять факториалы больших чисел
• Используется в теории вероятностей для подсчета числа перестановок и сочетаний
• Применяется в статистике для аппроксимации биномиального распределения
• Полезна в комбинаторике, физике, экономике и других областях

Даже спустя почти 300 лет после открытия, формула Стирлинга не утратила своей актуальности и остается одним из ключевых инструментов современной прикладной математики.

Где и как можно использовать формулу Стирлинга

Несмотря на кажущуюся специфичность, формула Стирлинга находит самое широкое применение в самых разных областях науки, техники и даже повседневной жизни.

Одно из основных назначений формулы Стирлинга - упрощение трудоемких вычислений комбинаторных величин в теории вероятностей и статистике.

Например, чтобы найти вероятность E получения ровно k успехов в n независимых испытаниях по формуле Бернулли, нужно подсчитать сочетание и дробь:

P(E) = C(n,k)·pk·(1-p)n-k / n!

Поскольку n! в знаменателе часто бывает очень большим числом, его удобнее вычислять приближенно по формуле Стирлинга.

Применение в физике и технике

Формула Стирлинга используется в статистической физике для вывода свойств идеальных газов. Она позволяет быстро подсчитать число способов, которыми частицы газа могут распределить энергию.

Кроме того, ее часто применяют в информационной теории для оценки количества сообщений и скорости их передачи по каналам связи конечной емкости.